在北京大马路上撞见自己某一个前任的数学概率是多少?

谈笑书生 2014-4-23 长文 826 0 喜欢 (0)

模型做如下假设:

1,20 岁分手,90 岁死亡,时间 70 年;

2,每周上街两次,3.5 天一次,考虑节假日因素,可估为 3.65 天一次,即每年上街 100 次。

3,每次上街,步行时间为一小时 *,60 分钟,3600 秒。
* 在交通工具上的封闭空间内“碰上”是即时发生的,比如两人同上一辆公车或地铁,此类“碰上”也是由步行造成的,不考虑一人开车碰上另一人的情况。

4,步速为 0.5 米 / 秒,定义“碰上”为“出现在自身三十米半径内”,那么步行每秒覆盖的“碰上面积”为 0.5*60=30 平方米。那么每次上街你覆盖的总面积为 3600*30=108000 平方米

5,两人的上街习惯一致,两人对北京的街道无倾向,两人的上街起始位置和行经路线随机。

现在的问题是:两人在一次随机制造“碰上面积”的过程中,相互覆盖的几率有多大?

北京四环边长约为 18 公里,四环内面积约为 324 平方公里,假设商业及娱乐面积占 1%,3.24 平方公里=3.24*10^6 平方米

一次上街你的覆盖几率为 1.08*10^5 / 3.24*10^6 = 3.34%,两人的面积有重叠的几率也是 3.34%

注意这是你们两人一次行动的面积有重叠的几率,而不是碰上的几率。想要碰上,必须两人在同一时间出现在重叠面积才行。

我们假设 30 秒内的重叠可以使彼此互相发现(碰上)的话,那么你在一次上街中出现在重叠面积的概率是 30/3600 = 1/120,同理对方也是 1/120,碰上的概率是 3.34% * (1/120)^2 = 0.0002319%

到这还没完,上面这个结论的前提是:你们总是同时上街!

这是不可能的,真要这么默契,还分手干毛。

所以还要乘上你们同时上街的概率,为了问题简化,假设一周有固定的 9 个上街时间段(每天晚上,周六日下午),从中取两次的概率为 2/9,你们两人就是 4/81。

在 70 年的生命中,7000 次上街中,碰上的概率是 0.0002319%*7000* 4/81 = 0.0802%

大概 1200 辈子能碰上一次。

我非常喜欢这个结果,很有“千年的等待换今生一次的相逢”的数学美:从第三冰河期开始不间断投胎到现在应该应该能见一次。

最后,娱乐为主,不要较真了,更好的计算要涉及心理和行为统计数据,还有各大商业娱乐中心的建筑面积和客流分布统计神马的,我到哪找参数去……

结论:安心上街去吧,你以为我会告诉你我还没算上她已经认不出你的概率这回事吗?

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这个问题按道理来说应该直接求解,但是貌似还有点小难度,为了偷懒,我把问题稍微转变了一下,这样应该大致趋势上是跟原来的问题一致的,不过不知道会不会有其它问题,如果有人发现我的假定和说明有些问题的话请告诉我。

二维随机行走的经典问题是讨论「常返性」,为了偷懒,利用「常返性」的计算结果,把一个人看成是不动的,另一个人随机行走,第一步从起点开始,看是不是会在有限步以内返回起始点。

二维情况下随机行走,在第 2n 步时返回原点的概率是:

「分手」跟「常返性」最大的不同是,我们没法每天都来分一次手。因此我们把「分手」看成是一个预先的扩散,即从分手的时刻开始计时(第 0 步),某人自分手的那一刻起从其男(女)朋友处预先先随机走了 2k 步。接下来,他每天从扩散到第 2k 步的那个位置开始,看能不能在 2n 步以内返回到原点,这个概率大致是正比于:

当 k 很大的时候,说明自分手的那一刻起他从其男(女)朋友处随机走了很远的距离,这时候相遇的概率就接近 0 ,但这也不要怕,这毕竟是个调和级数,总有一天还会再遇到他(她)的。

更何况我们还不是一直在随机行走,而是每天从第 2k 步的那个位置开始接着随机走的,再加上北京城还是有界的,因此一辈子(比如你们都再活个 100 年),如果每天的行为是独立的、且都可以看成是这样一个随机行走,那么再也见不到的概率大致是:

这个概率会是很小的,因为要有自信还能再遇到。

其实我们还可以更乐观一些,因为人的动力学不能看成是随机行走,而是更接近于 Lévy flight (列维飞行),我们每天其实大部分时间只在某几个位置附近游走,尽管这几个特定的位置之间可能相隔甚远,这个模型更符合人类的动力学。因此或许把模型弄得更简单一些反而更实际,例如,两人分别经常去的地方有 4 个,其中 3 个是相同的,他们处在这三个地方的概率分别是多少,于是可以估计出他们同时处在某个地方的概率,如果某个「地方」很大,那么在那个「地方」相遇的概率又可以用随机行走来进行估计。总之,如果两人有共同的、经常要去的地方,那么这个相遇的概率要比随机行走的概率高一些。

当然,我很同意其他朋友的观点,关键是你要有个女盆友啊。

以上 2D 随机行走的内容主要参考了:

http://www.dartmouth.edu/~chance/teaching_aids/books_articles/probability_book/Chapter12.pdf

http://daily.zhihu.com/story/3861944



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