择偶的最佳策略

谈笑书生 2015-1-28 长文 712 0 喜欢 (0)

人生的旅途中,适合择偶的年龄是有限的。在这段期间,你无须登【徵婚启事】都可能陆续遇到好几位适婚的对象。虽说女人二十一枝花,但太早结婚,难保白马王子在婚後才出现,只能恨不相逢未嫁时;而太晚结婚,又怕使君已有妇,顾影徒叹陌上花开迟。假如你在同一时间只遇见一位适婚对象,而必须决定是否许诺终身,那麽是否有一种策略能够让你有最大的机会「捡到」最佳的对象呢?

说「捡到」,是因为这个问题的数学结构,类似於在一条小径上散步捡石头:规定只能捡一颗,不能丢弃再捡,也不能回头再捡。那麽要如何才能捡到最大的石头呢?这个问题,提供了与择偶问题相同的困境:捡得太早,怕前面还有更大的石头;太迟,怕已经错过了最大的石头。面对这个困境,出手的时机便是一个重要的策略问题:如果预先设定一段观察期,在此期间只观察而不出手,而在其後则当机立断见好就捡,那麽观察期应该多久才是最适宜呢?数学上,这是一个极大化的问题,解决的方法是将观察期设为未知数,用这未知数来计算捡到最大颗石头的机率,也就是把得手机率作为观察期的函数,然後求出让此函数有最大值的观察期。

假设小径为一条长度固定的线段,而石头的位置呈现统计上的均匀分配,数学家对这个问题的解答是:在大约前1/3=0.33333的路段上,仔细观察石头的大小,但不要捡起任何石头。过了这一段观察期,记住所看到最大颗石头的大小,继续前进。此後,一旦看见一颗比观察期间最大石头还大的石头,要毫不犹豫地捡起。如此,则在路径的终点总结清算,你捡取到最大颗石头的机率为最大。 当然,你运气不好的话,可能再也碰不到更大的石头,因此只好在路径的尽头捡起最後一颗石头。这个策略只保证你捡到最大石头的机率为最大,它不能保证你一定捡到最大的石头。

更精准的计算显示,如果路径甚长因而石头甚多,则最佳观察期为整条路段长度的1/e=0.36788。这里e=2.71828…是所谓纳皮尔常数或尤拉数(Napier’s Constant or Euler’s Number)。这机率比1/3还要略为大些。根据这个策略,捡到最大颗石头的机率恰巧也趋近於1/e=0.36788。相对而言,当石头数目为n,随机捡取能捡到最大颗石头的机率为1/n。 当n很大时,1/n趋近於零。这个策略能够达到1/e的得手机率是相当令人惊讶的。

回到择偶的问题,假设男性的适婚年龄是25-40岁,有15年的择偶期,则最佳的择偶策略是在30岁以前不要结婚,只注意观察25-30岁这五年间所遇见的可能对象;30岁以後,一旦遇到更好的对象,不要犹豫,立刻结婚。女性的适婚年龄也许早些,算20-35岁的话,则25岁前不要结婚,要等到25岁後再当机立断。依此策略,不论男女能够「捡到」最佳另一伴的机率会比1/3稍大些。在这最佳择偶策略下,如果在观察期错过最佳对象,那也只能说是没有缘份了。

数学家 Frederick Mosteller 在Fifty Challenging Problems in Probability一书中解此题时,举了一个简单的例子。假设选择过程中共遇见四个对象,以 1/2/3/4 代表等第,数目越大越佳,则依遇见的顺序,共有24种可能情况:

1432* 2431* 3421* 4321
1423* 2413* 3412* 4312
1342+ 2341+ 3241*+ 4231
1324+ 2314+ 3214*+ 4213
1243+ 2143*+ 3142*+ 4132
1234 2134 3124*+ 4123

如果你随机选择,则捡到最佳对象的机率是1/4 或6/24。那麽如果采用有一段观察期的策略,得手机率又是如何呢?依观察期的长短,我们可以检视以下各种策略的良寙:

策略零:观察期=0/4,亦即第一次遇见对象便立刻结婚。得手机率=6/24。

  • 策略一:观察期=1/4,亦即Pass第一个,此後一旦看到比第一个更大的则立即捡起,如未看到,则捡最後一个。根据此策略,上列24种可能情况中,有11种(*标示者)可以捡到最大的石头,所以得手机率=11/24。
  • 策略二:观察期=2/4,亦即Pass前两个,此後一旦看到比前两个更大的则立即捡起,如未看到,则捡最後一个。根据此策略,上列24种可能情况中,有10种(+标示者)可以捡到最大的石头,所以得手机率=10/24。
  • 策略三:观察期=3/4,亦即Pass前三个,捡起第四个。根据此策略,上列24种可能情况中,6种可以捡到最大的石头,所以得手机率=6/24。

很明显的,策略一是最佳策略,因为其得手机率=11/24为最大。此策略的观察期(1/4)虽然不到1/3或1/e,但已是所有可能值中最接近的了。11/24=0.45833的机率则比1/e还大。当适婚期中遇见的对象越来越多,最佳的观察期会趋近於1/e,赢得佳偶的机率也会趋近於1/e。假如你估计会有n=10人来追求你,Mosteller的公式显示你应该跳过前三人,从第四人开始,只要比前三人更好就立刻答应。如此,则捡到最佳郎君的机率将高达0.399,已经很接近1/e了。

这个择偶最佳策略的解法假设你没有梦寐中的完美对象,如果有,相信你在作选择时会以这个绝对标准来衡量。这种情况还是可以用数学算出最佳策略,但那必须要写另外一篇文章了。

来源:http://pansci.tw/archives/73913



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